На геометрическом чертеже много пересечений, а в условии появляются отношения отрезков. В такой ситуации полезно определить, что требуется доказать: прохождение трех прямых через одну точку или расположение трех точек на одной прямой. Теоремы Чевы и Менелая отвечают на разные вопросы. Путаница между ними обычно начинается раньше вычислений, на этапе чтения чертежа.

Когда подходит теорема Чевы

Возьмем треугольник ABC и точки D, E, F внутри сторон BC, CA, AB соответственно. Прямые AD, BE и CF пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда произведение отношений BD/DC, CE/EA и AF/FB равно единице. Здесь рассматривается обычная конфигурация с положительными длинами.

Например, если BD/DC = 2, а CE/EA = 3, для пересечения трех прямых в одной точке нужно AF/FB = 1/6. Полученное отношение имеет смысл только вместе с указанием стороны и порядка концов отрезков. Перевернув одну дробь, легко получить неверное положение точки.

Когда нужен Менелай

Если секущая пересекает прямые, содержащие стороны треугольника, возникает задача о коллинеарности трех точек. Для обычной конфигурации, где две точки лежат на сторонах, а третья на продолжении, произведение соответствующих отношений положительных длин равно единице. Порядок отношений обходится по треугольнику так же последовательно.

Точка на продолжении меняет чертеж принципиально: один из отрезков может включать всю сторону. Сначала обозначьте, где расположены точки, и только затем записывайте отношения. Для общего случая удобно использовать направленные отрезки, однако соглашение о знаках нужно определить заранее и выдерживать во всей записи.

Как не перепутать формулы

Перед вычислениями сформулируйте цель словами. «Три прямые пересекаются в одной точке» ведет к проверке Чевы. «Три точки лежат на одной прямой» ведет к Менелаю. Затем выделите один треугольник, относительно которого рассматривается конфигурация. В сложном рисунке он может отличаться от исходного большого треугольника.

Записывайте отношения единым обходом: по стороне BC, затем CA, затем AB. Не собирайте дроби по принципу «что известно из условия». Если известен обратный порядок, явно переверните дробь. Такой порядок уменьшает количество ошибок и облегчает проверку решения другим человеком.

Что освоить до этих теорем

Нужны уверенная работа с подобием, отношениями площадей и делением отрезка. Полезно самостоятельно доказать частный случай Чевы через площади: отношение площадей треугольников с общей высотой равно отношению оснований. Тогда произведение отношений перестает выглядеть отдельным правилом, которое нужно запомнить.

Эти геометрические темы включены в проект программы Олимпиадных школ МФТИ. При подготовке стоит выбирать задачи, в которых применение теоремы объясняется конфигурацией, а не только знакомыми буквами на рисунке.

Как проверить понимание

Нарисуйте две похожие конфигурации: с тремя отрезками из вершин и с одной секущей. Для каждой назовите цель и запишите отношения без чисел. Затем поменяйте положение одной точки. Если вы можете объяснить, какие условия теоремы изменились, метод освоен глубже, чем при механической подстановке в формулу.