Математика как искусство решения задач

42

Математика как искусство решения задачМатематика состоит из методов получения ответов на количественные задачи, так видит математику большая часть мира и большинство студентов-математиков. www.lfirmal.com/reshenie-zadach-po-matematike/

На самом деле это очень важная часть математики. Расчет лежит в основе математики. Возможно, аспирантам уместно иметь отвращение к простому расчету, как это делают многие. Но я не думаю, что математику уместно иметь такое отвращение. Мой опыт показывает, что человек может по-новому взглянуть на математическую теорию, когда увидит, как она соотносится с конкретными вычислениями. И в некоторой степени я думаю, что математическая теория, не способная доказать свою ценность с точки зрения конкретных вычислений, вряд ли выдержит испытание временем.

Математика и её задачи

Решая конкретные задачи, исследователь обогащается, тем самым открывая новые методы и расширяя кругозор. Тот, кто ищет новые методы без какой-либо конкретной проблемы, просто зря тратит время.

Мы, преподаватели математики, склонны думать о курсах либо как о курсах теории, либо как о курсах из «поваренной книги», и относимся к последним довольно с пренебрежением. И все же между теоретическим развитием математики и простым заучиванием формул существует огромная разница. Это область решения математических задач, и это то, что я в основном видел во многих своих курсах, когда был студентом. Это своего рода математическое мышление, которое, кажется, больше не существует в наших курсах, тип мышления, который включает в себя решение нестандартной задачи и покрытие доски вычислениями до тех пор, пока не будет найден способ сделать ее решаемой. со стандартным набором инструментов.

Такое решение математических задач, вероятно, не менее креативно, чем доказательство теорем. И я не думаю, что компьютер сделал его устаревшим, поскольку его суть состоит в постановке задачи, а не в проверке формул.

Вычисления и поиск ответов

Несмотря на распространенное мнение, вычисления и поиск ответов — это не тот способ, которым математика чаще всего используется в приложениях. Меня это очень поразило, когда я впервые получил степень бакалавра и работал в аэрокосмической промышленности. Многие инженеры, с которыми я работал, на самом деле не очень хорошо выполняли те виды вычислений, которые обычно преподают в математических и других курсах бакалавриата, за исключением определенных конкретных методов, относящихся к их конкретной работе.

Тем не менее математика была широко распространена в инженерной работе, которую я наблюдал, и инженеры обычно говорили мне, что, хотя большинство вещей, которым их учили в колледже, не имеют отношения к той работе, которую они на самом деле делают, математика является исключением. Математика была незаменима в их работе.

Это очевидное противоречие озадачило меня. Наблюдая за инженерами и размышляя об этом, я начал замечать, что большая часть математики, которую они использовали, на самом деле была чрезвычайно простой. И чаще всего то, что им нужно было от математики, было не числовым ответом. Когда им действительно нужны количественные результаты, они обычно ставят задачу на компьютер.

Частично математика дала инженерам теоретическую основу, которая позволила им формулировать задачи для компьютера. Но, что важнее всего, это дало им язык для выражения отношений, которые было бы трудно выразить иначе.

Математика как язык

Для инженеров, с которыми я встречался в аэрокосмической отрасли, часто было не очень важно уметь вычислять интеграл. Но понятие интеграла было чрезвычайно важно для описания многих ситуаций.

ЧИТАТЬ ТАКЖЕ:  Дети обожают эти колбасные «розочки» и приготовить их очень просто

Математику как язык мы редко преподаем в явном виде. Студенты берут его в руки, даже не задумываясь об этом. Но это кажется действительно важным аспектом математики.

Когда кому-то мешает отсутствие математического образования, хотят ли они узнать больше физики, электроники, экономики или базовой статистики, камнем преткновения почти никогда не становится способность выполнять вычисления. Когда кто-то берет книгу, скажем, по термодинамике, и понимает, что он недостаточно разбирается в математике, чтобы ее читать, это не потому, что чтение книги требует выполнения большого количества вычислений. Что нужно, так это фундаментальные концепции и способность следовать математическим рассуждениям.

Здесь важно понять, что способность следовать математическим рассуждениям не так уж и далека от способности вычислять. Простого знания того, что означают все символы в уравнении по какой-то причине, недостаточно, чтобы понять книгу с большим количеством уравнений в ней, точно так же, как простого знания словаря иностранного языка недостаточно, чтобы уметь читать книги на нем. этот язык. В некоторой степени нужно уметь следовать выводам, приведенным в математически ориентированной книге, чтобы понимать, о чем говорится.

Однако неясно, насколько рутинные вычисления типа «заткнись и погорячь», которые сегодня преподаются в большинстве университетских курсов математики, очень помогают в обучении следованию математическим выводам.

Математика как наука

Большинству студентов очень трудно понять, что математика состоит не только из методов, но что математика является предметом такого же предмета, как и физика или астрономия. Математики — это не люди, которые посвящают свою жизнь вычислениям.

Когда аспиранты по другим дисциплинам, особенно не по физическим наукам, узнают, что у меня есть докторская степень. в математике меня иногда озадаченно спрашивают: «Что тебе нужно сделать, чтобы получить докторскую степень по математике? Ты пишешь … диссертацию?»

Для них это не работает. Они не понимают, как можно написать диссертацию по математике. «Он должен быть … оригинальным?» они спрашивают. Понятно, что они не могут представить, как математика может быть оригинальной. «Вы решаете какое-нибудь уравнение?»

На самом деле математики — это люди, которые посвящают свою жизнь не решению уравнений, а попыткам найти ответы на вопросы, на которые нет ответов. Эти вопросы столь же законны, как и те, над которыми исследуют физики или биологи.

Для многих студентов этот аспект математики не приветствуется. Это то, что они называют «теорией», и частый вопрос, который студенты задают о курсе: «Есть ли в нем много теории?» Обычно ясно, что большинство студентов не надеются на положительный ответ на этот вопрос.

Поскольку те из нас, кто преподает математику в исследовательских университетах, посвящают свою жизнь доказательству теорем, я считаю, что наши курсы часто имеют тенденцию игнорировать другие аспекты математики. Мы склонны уделять небольшое внимание тем аспектам решения проблем или математического мышления, которые не имеют отношения к доказательству теорем.

Математика как способ мышления

Когда я много играл в шахматы, мне иногда говорили: «Ну, конечно, ты хорош в шахматах. Ты математик». Я думаю, что такое утверждение имеет смысл для многих людей, и все же, когда вы останавливаетесь и думаете об этом, это довольно странно говорить. Неужели человек, который говорит это, действительно считает, что я использую какие-то алгебраические формулы или теоремы из геометрии в игре в шахматы?
Процесс изучения математики обязательно включает в себя изучение определенных способов мышления, и большинство людей считают правдоподобным, что обучение такому мышлению, которое происходит в математике, имеет ценность за пределами области математики. В любом случае такое мышление, безусловно, необходимо для использования математики в качестве полезного инструмента и тесно связано с типами мышления, используемыми в других физических науках.

ЧИТАТЬ ТАКЖЕ:  Как две капли воды: 21+ удивительных фото российских двойников мировых звезд

Когда я, например, преподавал тригонометрию, после обучения формуле сложения для греха (x + y) , я спрашивал студентов, могут ли они предсказать формулу двойного угла для греха (2x) . Очень немногие из моих учеников ответили бы на такой вопрос чем-нибудь, кроме пустого взгляда.

Примерно аналогично, когда я был аспирантом, я однажды подслушал, как пара студентов вместе выполняла домашнее задание по топологии (или, возможно, анализ). На данный момент они очень безуспешно пытались доказать, что каждое конечное множество замкнуто. Они пытались найти довольно сложные доказательства, взяв различные последовательности и глядя на пределы. Я слышал, как они явно упоминали тот факт, что отдельные точки замкнуты и что объединение конечного числа замкнутых множеств замкнуто, но они довольно быстро пропустили эти факты, которые не казались очень полезными — вероятно, потому что они были слишком простыми. . Они не видели связи.

Увидеть связи — важная часть решения математических задач и доказательства теорем. Когда я пытаюсь решить проблему или доказать теорему, я как будто вижу каждую формулу, факт или что-то еще, окруженное множеством ссылок на другие факты.

Разумно ли считать, что студенты, изучающие тригонометрию, довольно глупы из-за того, что не могут увидеть, что формула для греха (2x) очевидна из формулы для греха (x + y), просто допуская y = x, или что мой товарищ аспиранты были довольно глупы из-за того, что сразу не подумали о конечном множестве как о конечном объединении синглтонов? Я должен признать, что мне кажется довольно глупым не видеть этих вещей. И все же в то же время я, кажется, помню, что сам был довольно глуп, когда только начал изучать математику.

Изучение математики таким образом похоже на обучение игре в любую другую игру. Когда вы впервые начинаете учиться играть в любую игру, будь то шахматы, го или нарды, вы сначала делаете невероятно глупые ходы. Но по мере того, как вы играете дольше, вы учитесь понимать логические связи, присущие игре, и начинаете изучать стандартные комбинации. В шахматах, например, первый раз, когда ваш противник ставит под шах вашего короля, а затем хватает вашего ферзя ладьей или слоном после того, как король уходит с дороги, это становится большим потрясением. Позже вы начинаете осознавать опасность того, что кусок прижали к себе, или становитесь уязвимыми для рентгеновской атаки.

Однако дело в том, что после того, как вы научитесь играть в множество разных игр, вы начнете учиться подбирать стандартные шаблоны намного быстрее. В процессе обучения игре во многие игры вы узнаете что-то, что находится на более высоком логическом уровне, чем закономерности, присущие любой игре. Вы стали чувствительны не только к шаблонам в конкретных играх, но и к идее, что в любых играх также будут существовать шаблоны, которые можно использовать. Похоже, что то же самое происходит в математике.

Одна вещь, которая, безусловно, важна для математического мышления, — это способность смотреть за пределы содержания и видеть лежащую в основе логическую структуру, а также понимать, когда две ситуации, которые кажутся очень разными по своему поверхностному содержанию, на самом деле идентичны, если посмотреть на них. логическая структура.
На самом деле я думаю, что это может быть наиболее важным аспектом математического мышления. Но это, конечно, непросто даже для опытных математиков.